martes, 13 de octubre de 2020

SESIÓN 1 - CUARTO PERIODO (MATH 8°)

CUERPOS REDONDOS

Un cuerpo redondo es un sólido limitado por superficies curvas o por superficies curvas y planas. Los principales cuerpos redondos son el cilindro, el cono y la esfera.

Definición: (Cilindro)
Un cilindro es un sólido limitado por dos caras circulares y por una superficie curva. La superficie curva se denomina cara lateral y las dos caras circulares se denominan bases.
  • A = 2πr(h + r) | Área del Cilindro

  • V = πr²h | Volumen del Cilindro
Ejemplo:

Definición: (Cono)
Un cono es un cuerpo redondo limitado por una superficie curva y por una cara plana circular.
  • A = πr(g + r) | Área del Cono

  • V = (1/3)πr²h | Volumen del Cono
Ejemplo:
Definición: (Esfera)
Una esfera es un cuerpo redondo limitado solo por una superficie curva cuyos puntos equidistan de un punto fijo llamado centro.
  • A = 4πr² | Área de la Esfera

  • V = (4/3)πr3 | Volumen de la Esfera
Definición: (Poliedro)
Un poliedro es un cuerpo geométrico limitado por cuatro o más polígonos no coplanares, denominados caras. Los lados y vértices de las caras son, respectivamente, las aristas y los vértices del poliedro.

Clasificacion de poliedros

Definición: (Poliedros Regulares e Irregulares)
Un poliedro es regular si todas sus caras son polígonos regulares congruentes y en cada vértice concurre el mismo número de caras. Por el contrario, un polígono es irregular si sus caras no son todas congruentes o no concurren el mismo número de caras en cada vértice.

Ejemplo:
Nota:
En un poliedro (sin orificios) se cumple la fórmula de Euler.
  • C: Número de caras.
  • V: Número de vértices
  • A: Número de aristas
FÓRMULA DE EULER ( C + V - A = 2)

Definición: (Prisma)
Un prisma es un poliedro limitado por dos polígonos congruentes y paralelos llamados bases y varios paralelogramos llamados caras laterales.
  • A = A. Lateral + 2(A. Base) | Área del Prisma

  • V = (A. Base)h  | Volumen del Prisma
Ejemplo:
Definición: (Pirámide)
Una pirámide es un poliedro limitado por una sola base poligonal y por varias caras laterales con forma triangular que tienen un vértice en comun.
  • A = A. Lateral + A. Base | Área del Piramide

  • V = (1/3)(A. Base)h  | Volumen del Piramide 
Ejemplo:
VIDEOS EXPLICATIVOS
COMPROMISOS
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    REFERENCIAS
    • Caminos del saber 8° - Santillana
    • Módulo 8° - Liceo Antonio de Toledo
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    domingo, 6 de septiembre de 2020

    SESIÓN 3 - TERCER PERIODO (MATH 8°)

     PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS


    1) La suma de las medidas de los ángulos internos de un triangulo es 180°

    2) Al lado de mayor longitud se opone el angulo de mayor amplitud, y al lado de menor longitud se opone el angulo de menor amplitud.

    3) La medida de cada uno de los lados es menor que la suma de las medidas de los otros dos lados.

    4) La medida de un angulo exterior es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes.

    5) Si dos lados de un triángulos son iguales, entonces, los ángulos opuestos a estos lados son iguales.

    6) Si dos ángulos de un triangulo son iguales, entonces, los lados opuestos a estos ángulos son iguales.

    7) Si dos triángulos tienen la misma base (b) y la misma altura (h), entonces, tienen áreas iguales.

    8) Si un triángulo es equilátero, entonces sus tres ángulos miden igual.

    CIRCUNFERENCIA Y CIRCULO
    Definición: (Circunferencia)
    La circunferencia es el conjunto de todos los puntos del plano que están a la misma distancia de otro punto llamado centro.
    Definición: (Circulo)
    El circulo es el conjunto de puntos interiores de una circunferencia.
    ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA

    En la circunferencia se identifican los siguientes elementos:
    • Centro: Punto del cual equidistan todos los puntos de la circunferencia.
    • Radio: Segmento cuyos puntos extremos son el centro y un punto de la circunferencia.
    • Cuerda: Segmento cuyos puntos extremos son dos puntos de la circunferencia.
    • Diámetro: Cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.
    • Arco: Parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos de esta.
    • Semicircunferencia: Arco determinado por los extremos de un diámetro.
    PERÍMETRO & ÁREA DE UNA CIRCUNFERENCIA

    Definición: (Perímetro)
    El perímetro de una figura geométrica es la suma de las medidas de todos los lados que lo conforman. El perímetro se representa por P.

    Para calcular el perímetro de una circunferencia se hace con la siguiente formula:
    P = 2*π*r (r: radio, π número pi)

    Definición: (Área)
    El área de una figura es la medida de la superficie que ocupa la figura. El área se simboliza con la letra A.

    Para calcular el área de una circunferencia se hace con la siguiente formula:
    A = π*r² (r: radio, π número pi)

    VIDEOS EXPLICATIVOS


      COMPROMISOS
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        • Caminos del saber 8° - Santillana
        • Módulo 8° - Liceo Antonio de Toledo
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        domingo, 9 de agosto de 2020

        SESIÓN 2 - TERCER PERIODO (MATH 8°)

         FACTORIZACION DE BINOMIOS

        En la factorizacion de binomios se aplican los productos notables estudiados en la unidad anterior:

        Factorización de diferencia de cuadrados:

        En los productos notables, cuando se multiplica la suma de dos términos por su respectiva diferencia, se obtiene el cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término, es decir:

        (x + y)(x - y) = x² - y²

        Para identificar cuando un binomio es la diferencia de dos cuadrados, se verifican las siguientes condiciones.

        • La expresión debe tener dos términos, separados por signo menos.
        • Los dos términos deben estar elevados al cuadrado, es decir, se les puede extraer la raíz cuadrada exacta.
        La diferencia de cuadrados se factoriza como la suma de las raíces cuadradas de los dos términos por la diferencia de las raíces cuadradas de los dos términos.

        x² - y² = (x + y)(x - y)

        Factorización de la suma y diferencia de cubos:
        Suma:
        La expresión de la forma x³ + y³ se denomina suma de cubos y en ella se identifican las siguientes características:
        • Sus términos tienen igual signo.
        • Cada uno de sus términos están elevados al cubo.
        x³ + y³ = (x + y)(x² - xy + y²)

        Resta:
        La expresión de la forma x³ - y³ se denomina suma de cubos y en ella se identifican las siguientes características:
        • Sus términos tienen diferente signo.
        • Cada uno de sus términos están elevados al cubo.
        x³ - y³ = (x - y)(x² + xy + y²)

        FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS
        Cuando los polinomios tienen tres términos, se factorizan según sus características. Por tal razon hay dos clases de trinomios: los cuadrados perfectos, los trinomios de la forma x² + mx + n.

        Factorización de un trinomio cuadrado perfecto:
        Un trinomio ordenado respecto a una de sus variables es cuadrado perfecto cuando:
        • El primer y el tercer término son cuadrados perfectos, es decir, tienen raíz cuadrada exacta.
        • El segundo término es el doble producto de las raíces cuadradas del primer y tercer término.
        • El primero y tercer término siempre son positivos, el segundo término puede ser positivo o negativo.
        La factorizacion de un trinomio cuadrado perfecto es:

        x² + 2xy + y² = (x + y)²
        o
        x² - 2xy + y² = (x - y)²

        Factorización de un trinomio de la forma: x² + mx + n
        Las características de estos trinomios son:
        • El primer término tiene coeficiente 1.
        • El segundo término es el primer término con la mitad del exponente del primero acompañado de un coeficiente.
        • El tercer término es un número sin letra.
        Para factorizar este tipo de trinomios, se buscan dos numeros a, b que cumplan que:
        a + b = m
        a * b = n

        x² + mx + n = (x + a)(x + b)

        Factorización de un cubo perfecto:
        Un polinomio ordenado con respecto a una de sus variables es un cubo perfecto si presenta las siguientes características:
        • Tiene cuatro términos.
        • Su primero y cuarto término están elevados al cubo.
        La factorizacion de un cubo perfecto es:

        x³ + 3x²y + 3xy² + y³ = (x + y)³
        o
        x³ - 3x²y + 3xy² - y³ = (x - y)³

        Vídeos explicativos:

        COMPROMISOS

        REFERENCIAS
        • Caminos del saber 8° - Santillana
        • Módulo 8° - Liceo Antonio de Toledo

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        jueves, 16 de julio de 2020

        SESIÓN 1 - TERCER PERIODO (MATH 8°)

        Hilo conductor
        ¿Qué es factorizar?

        Tópicos
        • Productos notables
        • Concepto de factorizacion
        • Factorizacion por factor comun
        • Trinomio cuadrado perfecto: x² + 2xy + y²
        • Trinomio de la forma: x² + bx + c
        • Diferencia de cuadrados: x² - y²
        • Cubos perfectos: x³ + 3x²y + 3xy² + y³
        • Suma y diferencia de cubos: x³ + y³
        Meta
        El estudiante comprenderá como realizar una factorizacion teniendo en cuenta el tipo de polinomio que se le presenta.

        Productos Notables
        Los productos notables son expresiones algebraicas que resultan de generalizar ciertos casos de multiplicación de polinomios.

        Nota: Cuando se halla el cuadrado de un binomio se deben tener en cuenta dos casos:
        • El cuadrado de una suma de dos términos
        • El cuadrado de una resta de dos términos
        Cuadrado de un binomio

        Suma:
        El cuadrado de la suma de dos términos es igual al cuadrado del primer termino, mas el doble de producto del primer término por el segundo termino, mas el cuadrado del segundo término:

        (x + y)² = x² + 2xy + y²

        Resta:
        El cuadrado de la resta de dos términos es igual al cuadrado del primer término, menos el doble de producto del primer término por el segundo termino, mas el cuadrado del segundo término:

        (x - y)² = x² - 2xy + y²


        Producto de la suma por la diferencia
        La suma por la diferencia de dos términos es igual a la diferencia de los cuadrados de dichos términos:

        (x + y)(x - y) = x² - y²

        Producto de dos binomios con un término en comun
        El producto de dos binomios con un término comun es igual al cuadrado del término comun, más el producto de las suma de los dos términos no comunes por el término comun, más el producto de los términos comunes:

        (x + a)(x + b) = x² + (a+b)x + ab

        Nota: Cuando se halla el cubo de un binomio se deben tener en cuenta dos casos:
        • El cubo de una suma de dos términos
        • El cubo de una resta de dos términos
        Cubo de un binomio

        Suma:
        El cubo de la suma de dos términos es igual al cubo del primer termino, mas el triple del cuadrado del primer término por el segundo termino, mas el triple del primer término por el cuadrado del segundo termino, mas el cubo del segundo término:

        (x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³

        Resta:
        El cubo de la resta de dos términos es igual al cubo del primer término, menos el triple del cuadrado del primer término por el segundo termino, mas el triple del primer término por el cuadrado del segundo término, menos el cubo del segundo término:

        (x - y)³ = x³ - 3x²y + 3xy² - y³

        Concepto de factorizacion
        Factorizar un número es expresarlo como producto de dos o más factores. por ejemplo, el número 60 se puede escribir como:

        60 = 12*5 o 60 = 15*4

        Factorizar un polinomio, significa descomponerlo en factores, que son polinomios, diferentes a él.

        Ejemplo:
        El polinomio x² + 5x + 6 se factoriza como (x+3)(x+2), ya que el realizar el producto (x+3)(x+2) se obtiene x² + 5x + 6.

        Nota: Todo polinomio que no se puede expresar como producto de polinomios, se llama polinomio primo.

        Factorizacion por factor comun
        Algunos polinomios tienen una expresión comun en cada uno de sus términos, esta puede ser numérica o literal (variable). A esta expresión de le denomina factor comun.

        La factorización de un polinomio por factor comun esta relacionada con la propiedad distributiva.

        Por ejemplo, para factorizar el polinomio: ax + ay, se sigue:

        ax + ay = a*(x + y)

        Vídeos explicativos:
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        domingo, 31 de mayo de 2020

        SESIÓN 3 - SEGUNDO PERIODO (MATH 8°)


        OPERACIONES ENTRE POLINOMIOS

        Las operaciones entre polinomios son útiles ya que son la base para todo el desarrollo del algebra y, de ahí, las otras ramas de las matemáticas.

        Adición y sustracción de monomios
        Para sumar o restar dos o mas monomios se requiere que estos sean semejantes. Para ello, se suman o se restan los respectivos coeficientes de cada monomio y a continuación se escribe la misma parte literal. A este proceso se le llama denominación reducción de términos semejantes.

        Ejemplos: 
        1) Al reducir los siguientes términos semejantes de los monomios, obtenemos:


        2) Sumar cada grupo de monomios:
        Adición y sustracción de polinomios
        Para determinar las operaciones aditivas entre polinomios, se realiza lo que se indica a continuación.
        • Para sumar dos polinomios: primero, se escriben los polinomios y luego, se reducen los términos semejantes de los polinomios dados. 
        • Para restar dos polinomios: primero, se plantea la suma del primer polinomio con el opuesto del segundo y luego, se reducen los términos semejantes.
        Ejemplos:

        Notas:


        Operaciones multiplicativas entre polinomios
        Para realizar multiplicaciones entre polinomios, es necesario tener en cuenta las propiedades de la potenciación.

        Propiedades de la potenciación
        La potenciación cumple con las siguientes propiedades en el conjunto de los números reales.
        Multiplicación de monomios
        Para multiplicar dos o mas monomios se deben tener en cuenta las siguientes leyes:
        • Ley de signos: en el producto de dos o más factores, si la cantidad de factores negativos es par, el resultado es una cantidad positiva; pero si la cantidad de factores negativos es impar, el resultado es un cantidad negativa.
        • Ley de coeficientes: el coeficiente de un producto de dos o mas factores es el producto de los coeficientes de cada uno de los factores.
        • Ley de exponentes: para multiplicar dos o más potencias de igual base, se deja la misma base y se suman los exponentes.
        Ejemplos:
        Multiplicación de un monomio por un polinomio
        Para multiplicar un monomio por un polinomio se debe aplicar la propiedad distributiva para la suma. Es decir, se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio, teniendo en cuenta las leyes para la multiplicación de monomios.

        Ejemplo:
        Multiplicación de polinomios
        El producto de dos polinomios es otro polinomio que se obtiene al multiplicar los términos de un polinomio por cada uno de los términos del otro. Para ello, se aplica la propiedad distributiva.
        Ejemplo:
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          miércoles, 29 de abril de 2020

          SESIÓN 2 - SEGUNDO PERIODO (MATH 8°)


          NÚMEROS REALES

           Definición: (Conjunto de los números reales)
          Es conjunto de los números reales se define como la unión del conjunto de los números racionales y el conjunto de los números irracionales. El conjunto de los números reales se simboliza con .

           En la siguiente figura, se muestra la representación de los conjuntos numéricos y las relaciones de inclusión entre ellos.

          Representación de los números reales en la recta numérica:
          Existe una correspondencia entre los números reales y los puntos de la recta numérica, donde a cada punto de la recta le corresponde un único numero real y a cada numero real le corresponde solamente un punto de la recta numérica. Por lo tanto a la recta numérica se le llama recta real.

           Operaciones y propiedades en los números reales:
          En el conjunto de los números reales, las operaciones de suma y multiplicación cumplen las siguientes propiedades:

          Orden en el conjunto de los números reales

          Propiedad de la Tricotomia:
          Al comparar dos números reales se cumple una y solo una de las siguientes posibilidades:
          • a < b (a menor que b)
          • a > b (a mayor que b)
          • a = b (a igual a b)
          Propiedades de las desigualdades:
          Las desigualdades cumplen las siguientes propiedades. Si a, b, c ∈ .
          • Si a < b y b < c, entonces a < c (Propiedad transitiva)
          • Si a < b, entonces a+ c < b + c (Propiedad aditiva)
          • Si a < b y c > 0, entonces a*c < b*c (Propiedad multiplicativa)
          • Si a < b y c < 0, entonces a*c > b*c (Propiedad multiplicativa inversa)
          ÁLGEBRA 
          El algebra me permite representar simbólicamente los enuncias de algunos problemas para resolverlos. De acuerdo con esto, mediante expresiones algebraicas se pueden resolver problemas, en áreas de la economía, la ingeniería, la física, entre otras.

          En una expresión algebraica se indican números conocidos y desconocidos. A los números conocidos se les denomina constantes y a los números desconocidos, cuyo valor puede variar, se les denomina variables.

          EJEMPLO:
          El enunciado "El doble del cuadrado de un numero aumentado en 5" se represente con la expresión algebraica:
          2x² + 5

          Definición: (Términos Algebraicos)
          Los terminos algebraicos son expresiones algebraicas que no involucran sumas y restas entre las variables y las constates, pero si multiplicaciones.

          EJEMPLO:
          Las expresiones -5x²y, 12ab² son términos algebraicos.

          Partes de una expresión algebraica:

          Signo: Es el símbolo que indica si el termino es positivo o negativo.

          Coeficientes: Es el numero que aparece en cada termino.

          Exponentes: es el numero que indica la cantidad de veces que se multiplica una variable.

          Parte literal: Es el producto de las variables de un termino con sus respectivos exponentes.

          EJEMPLOS:


          Definición: (Monomio)
          Un monomio es una expresión algebraica que consta de un solo termino, en el que el coeficiente es un numero real, y los exponentes son números enteros mayores que o iguales a cero.

          EJEMPLOS:

          Definición: (Polinomios)
          Un polinomio es una expresión algebraica formada por sumas o restas de dos o mas monomios. Los monomios que conforman el polinomio se denominan términos de polinomio.

          En particular, a un polinomio conformado por dos monomios se le denomina binomio y a un  polinomio que consta de tres términos se le denomina trinomio.

          EJEMPLOS:
          Definición: (Termino Independiente de un Polinomio)
          El termino independiente de un polinomio es el termino de grado cero en el polinomio, es decir, la constante.

          EJEMPLO:


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